Théorème de Pythagore généralisé

On rappelle l'énoncé du théorème de Pythagore et de sa réciproque.

Théorème de Pythagore
Si `\text{ABC}` est un triangle rectangle en `\text{B}` , alors  \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) .

Réciproque du théorème de Pythagore
Dans un triangle `\text{ABC}` , si   \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) , alors   `\text{ABC}` est rectangle en `\text{B}` .

Les deux implications étant vraies, on peut les écrire sous forme d'une équivalence de la façon suivante :  \(\text{ABC}\)  est un triangle rectangle en  \(\text{B}\) si et seulement si  \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2\) .

L'objectif de cet activité est de trouver un énoncé qui permette de généraliser ce résultat dans un triangle  \(\text{ABC}\)  quelconque.
La stratégie consiste à exprimer le réel \(d=\text{AC}^2-\text{AB}^2-\text{BC}^2\) en fonction des longueurs \(\text{AB}, \text{BC}\)  et de  \(\cos(\widehat{\text A\text B\text C})\) . 
Nous savons déjà que \(d=0\) si et seulement si  \(\text{ABC}\) est rectangle en  `\text{B}` .

1. Questions préliminaires

Soit   \(\text{ABC}\) un triangle quelconque.
On note   \(\text{H}\)  le pied de la hauteur issue du point  \(\text{C}\) , c'est-à-dire le point d'intersection de \((\text A\text B)\) avec la droite passant par \(\text C\) et perpendiculaire à \((\text A\text B)\) .
    a. Faire un croquis puis montrer que  \(d=\text{AH}^2-\text{AB}^2-\text{BH}^2\) .
    b. Soit  \(\theta\)  un réel. Exprimer \(\cos(\pi-\theta)\) en fonction de \(\cos\theta\) .

2. Expression de \(\boldsymbol{d}\) en fonction de  \(\boldsymbol{\text A\text B}\) et  \(\boldsymbol{\text B\text C}\)

Dans les trois cas suivants, exprimer \(\text{AH} \text{ et } \text{BH}\) en fonction de   \(\text A\text B\) , \(\text B\text C\) et  \(\cos\theta\) puis démontrer que \(d=-2\text A\text B\times \text A\text C \cos(\widehat{\text A\text B\text C})\) .

• Cas 1 : les points  \(\text{A},\ \text{B et H}\)  sont alignés dans cet ordre. 
  

• Cas 2 : les points  \(\text{A, H}\ \text{et B}\)  sont alignés dans cet ordre. 
  

• Cas 3 : les points  \(\text{H, A}\ \text{et B}\)  sont alignés dans cet ordre. 
  

3. Un bilan

Nous venons d'établir que, dans un triangle quelconque  \(\text{ABC}\) , \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\text{AB}\times \text{BC} \times \cos(\widehat{\text A\text B\text C})\) .
Cette expression est une généralisation du théorème de Pythagore.
Le nombre \(-\dfrac{1}{2}d=\text{AB}\times\text{BC}\times \cos(\widehat{\text{ABC}})\) est appelé produit scalaire des vecteurs  \(\vec{\text{AB}}\)  et  \(\vec{\text{BC}}\) et se note \(\vec{\text A\text B}\cdot\vec{\text B\text C}\) . On peut donc réécrire l'égalité précédente comme     \(\text{AC}^2=\text{AB}^2+\text{BC}^2-2\vec{\text A\text B}\cdot \vec{\text B\text C}\) .

4. Des cas particuliers
    a. Que se passe-t-il dans le cas où, dans le triangle \(\text{ABC}\) , les points  \(\text{A, B}\ \text{et C}\)  sont alignés non confondus (le triangle  \(\text{ABC}\)  est aplati) ? Étudier les différents ordres d'alignement.
    b. Démontrer que, lorsque  \(\text{ABC}\)  est rectangle en  \(\text{B}\) , on retrouve l'égalité du théorème de Pythagore.
    c. Que se passe-t-il dans le cas où les points \(\text{A}\) et \(\text{C}\) sont confondus ?